பண்டைய இந்தியர்கள் ஏற்படுத்திய “கடப்பாயாதி சங்க்யா” (Katapayadi Sankhya) எனும் ரகசிய மறைக்குறியீட்டாக்க முறையை (Encryption System) காண்போம். இம்முறையை முதன் முதலாக கி. பி. 683 ல் ஹரிதத்தா என்பவர் ஏற்படுத்தினார். அதற்கு பின் தோன்றிய பல அறிஞர்கள் இந்த ரகசிய முறையை கையாண்டனர். “கடப்பாயாதி சங்க்யா” எனும் ரகசிய முறையை அன்றைய இந்தியர்கள் சொற்களால் அமைந்த தொடர்களை எண்களாக மாற்றும் முறையாக அமைத்தனர். மேலும் சொற்களை “க – ட – பா – யா” ஆகிய நான்கு குழுக்களாக பிரித்து இச்சொற்களின் ஒலியில் அமைந்த மற்ற சொற்களை அதே குழுவில் தேர்ந்தெடுத்து ஒவ்வொரு ஒலிக்கும் ஒரு எண்னை அமைத்தனர். மேலும் கர்நாடக இசையில் அமைந்த மேலகர்த்தா ராகங்களை அறிய இந்த முறை பயன்படுத்தப்பட்டது. இம்முறை கேரள மாநிலத்தில் பிரபலமாக விளங்கியது. இந்த அமைப்பு முறையை விளக்கும் அட்டவணையை கீழ் காணலாம்.

இம்முறைப்படி கணிதம் (க-1, ணி-5, தம்-7) மற்றும் பனித்துளி (ப-1, னி-5, துளி-7) ஆகிய சொற்களுக்கு ‘157’ என்ற எண்ணை குறிக்கலாம். எனவே ஒரே எண்ணிற்கு பல சொற்கள் கிடைப்பதால் இந்த முறைப்படி அமைக்கப்படும் தொடர்களுக்கு அவ்வளவு எளிதாக உண்மையான அர்த்தத்தை கண்டறிய முடியாது. இம்முறையின் மகத்துவத்தை விளக்க நாம் சில உதாரணங்களை காண்போம். நாம் முதலில் கீழ்காணும் சமஸ்கிருத பாசுரத்தை கருதிக்கொள்வோம்.

“gopiibhaagya madhuvraataH shruMgashodadhi saMdhigaH .
khalajiivitakhaataava galahaalaa rasaMdharaH ..”

இந்த சமஸ்கிருத பாசுரத்திற்கு ஆங்கிலத்தில் அமைந்த அர்த்தத்தை காணலாம்.

Oh Krishna, the fortune of the Gopis, the destroyer of the demon Madhu,
protector of cattle, the one who ventured the ocean-depths, destroyer of evildoers, one with plough on the shoulder and the bearer of nectar, may (you) protect (us)!

இப்பாசுரம் இந்து கடவுளான கிருஷ்ணரின் பெருமைகளை விளக்கி அவரை அனைவரையும் காக்க வேண்டி போற்றிப்பாடி அமைந்துள்ளது. ஆனால் கிருஷ்ண பரமாத்மாவை போற்றும் இந்த பாசுரத்தில் என்ன ரகசியம் அடங்கியுள்ளது? இப் பாசுரத்தில் கிடைக்கும் வார்த்தைகளுக்கு தகுந்த எண்ணை கடப்பாயாதி அட்டவணை மூலம் கருதிக்கொண்டால் நமக்கு கிடைப்பது:

ga – 3 pii – 1 bhaa – 4 gya – 1 ma – 5 dhu – 9 ra – 2 ta -6 shru – 5 ga – 3 sho – 5 da – 8 dhi – 9 sa – 7 dha – 9 ga – 3 kha – 2 la – 3 jii – 8 vi – 4 ta – 6 kha – 2 ta – 6 va – 4 ga – 3 la – 3 ra – 2 sa – 7 dha – 9 ra – 2

மேற்காணும் எண்களை வரிசையாக எழுதினால் கிடைப்பது 3.1415926535897932384626433832792 ஆகும். இம்மதிப்பு கணிதத்தில் மிகச்சிறந்த எண்ணாக விளங்கும் π என்ற எண்ணை குறிக்கும். π என்ற எண்ணின் தசமப் புள்ளி மதிப்பு முடிவில்லாமல் சென்று கொண்டே இருக்கும் என்பதை கணித அறிஞர்கள் அறிவர். ஆனால் அன்றைய இந்தியர்கள் மேற்கண்ட பாடல் மூலம் கொடுத்த π மதிப்பு, π யின் உண்மை மதிப்பிற்கு முதல் முப்பது தசமப் புள்ளிகளுக்கு சமமாக விளங்குவது பிரமிப்பை அளிக்கிறதல்லவா? (இறுதி இலக்கமான 2 பிழையானதாக அமைகிறது). கிட்டத்தட்ட இரண்டாயிரம் ஆண்டுகளுக்கு முன் π மதிப்பை இவ்வளவு தசமப் புள்ளிகளுக்கு நேர்த்தியாக வழங்கிய பெருமை இந்தியர்களையே சாரும்.

இந்திய அறிஞர் சங்கரவர்மன் கி. பி. 1819ல் எழுதிய “சதரத்னமாலா” எனும் நூலில் “கடப்பாயாதி சங்க்யா” முறையைப் பயன்படுத்தி π ன் மதிப்பை வழங்கியுள்ளார். முதலில் அவர் ஏற்படுத்திய செய்யுளை காண்போம்.

சரி, இச்செய்யுளில் என்ன ரகசியம் உள்ளது? மேற்கண்டவாறு கொடுத்த செய்யுளில் கடப்பாயாதி அட்டவணை மூலம் குறிப்பிட்ட வார்த்தைகளுக்கு தகுந்த எண்களை கருதிக்கொண்டால் கிடைப்பதை கொடுக்கப்பட்ட அட்டவணையில் காணலாம்.

இச்செய்யுள் மூலம் உருவான எண்களை வலப்புறத்திலிருந்து இடப்புறமாக எழுதினால் கிடைப்பது 3.14159265358979324. ஆம், நீங்கள் நினைப்பது சரி தான், இந்த எண் π ன் உண்மை மதிப்பிற்கு 16 தசமப் புள்ளிகள் வரை சரியாக அமைகிறது. (இறுதியில் தோன்றும் 4 தவறாகும்). ‘சதரத்னமாலா’ கேரளத்தில் தோன்றிய கணிதம், வானூல் போன்ற அரிய இந்திய செய்திகளை, கண்டுப்பிடிப்புகளை ஐரோப்பிய நாடுகளுக்கு தெரிவித்ததில் பெரும் பங்காற்றியுள்ளது.

“கடப்பாயாதி சங்க்யா” முறையைப் பயன்படுத்தி ஒரு அரிய கருத்தை இந்தியாவின் முக்கிய கணித அறிஞராக கருதப்படும் ‘மாதவா’ (இன்றைய கேரள மாநிலத்தில் திரிச்சூர் அருகே கி. பி. 1340ல் பிறந்தவர்) என்பவர் வழங்கினார்.

மாதவா

இவர் திரிகோணமிதியில் (Trigonometry) 3.75 டிகிரி கோணத்தில் துவங்கி அதன் பெருக்கல் மதிப்புகளாக 90 டிகிரி கோணம் வரையிலான 24 கோணங்களுக்கு தகுந்த சைன் மதிப்புகளை வழங்கினார். நாம் முதலில் மாதவா வழங்கிய சைன் மதிப்புகளுக்கான அட்டவணையை கருதிக்கொள்வோம். மாதவா ஏற்படுத்திய மூல அட்டவணை நமக்கு கிடைக்கப் பெறவில்லை. இங்கு தரப்பட்டிருக்கும் அட்டவணை நீலகண்ட சோமயாஜி என்ற அறிஞரால் ‘தேவநகரி’ மொழியில் பிற்காலத்தில் வழங்கப்பட்டதாகும்.

இதில் முதல் 12 வரிகள் மாதவா வழங்கிய அட்டவணையின் குறிப்புகளை தெரிவிக்கிறது. இறுதி வரியில் ‘இது மாதவா என்பவரால் வழங்கப்பட்டது’ என்ற செய்தி அமைந்துள்ளது. இந்த குறிப்பை புரிந்து கொள்ள கீழ்காணும் அட்டவணையை கருதிக்கொள்ளலாம்.

மாதவா வழங்கிய அட்டவணையின் அர்த்தத்தை ஒரு குறிப்பிட்ட கோணத்தை கருதிக் கொண்டு புரிந்து கொள்ளலாம். உதாரணமாக 45 டிகிரியின் சைன் மதிப்பை காண மாதவா வழங்கிய அட்டவணைப்படி இரண்டாம் நிரலில் உள்ள தேவநகரி மொழியில் அமைந்த शम्कुकर्णो नगेश्वरः செய்யுளுக்கு எற்றவாறு மூன்றாம் நிரலில் அமைந்த “śaṃkukarṇō nageśvaraḥ” சமஸ்கிருத குறிப்பின் மூலம் பெறலாம். இப்பொழுது கடப்பாயாதி அட்டவனை மூலம் இந்த சமஸ்கிருத குறிப்பிற்கு தகுந்த எண்களை கருதிக்கொண்டால் கிடைப்பது 51 15 0342 என்ற எண்களாகும். இந்த எண்களை மாதவா அட்டவணையில் நான்காம் நிரலில் காணலாம். மேற்காணும் எண்களை வலப்பக்கமிருந்து இடப்பக்கமாக கருதிக் கொண்டு மாதவா ஒரு அற்புதமான சூத்திரத்தை வழங்கினார். அவர் வழங்கிய சூத்திரப்படி 45 டிகிரியின் சைன் மதிப்பை கீழ்காணும் வழிமுறையில் கண்டறியலாம்.

எனவே மாதவா முறைப்படி 45 டிகிரியின் சைன் மதிப்பு 0.70710681 என அமைகிறது. இன்றைய 45 டிகிரியின் சைன் மதிப்பு ஆக அமைகிறது. இதைப்போல சைன் மதிப்பை மற்ற கோணங்களுக்கு மேற்கூறிய முறைப்படி கண்டறியலாம். இதிலிருந்து மாதவா கொடுத்த சைன் கோண மதிப்புகளின் முறை எவ்வளவு துல்லியமாக விளங்குகிறது என்பதை புரிந்து கொள்ளலாம்.

மாதவா கேரளாவில் கணிதம், வானியல் ஆராய்ச்சியில் மற்றவர்களை ஈடுபடுத்த ஒரு பள்ளியை நிறுவினார். இப்பள்ளியில் மிகச் சிறந்த கணித, வானியல் ஆய்வுகள் மேற்கொள்ளப்பட்டு பல கண்டுப்பிடிப்புகளை நிகழ்த்தி இன்று இந்தியாவின் அறிவியல் பாரம்பரியத்தை பேணிக்காக்கும் வகையில் அமைந்தது. மாதவா அமைத்த கூட்டு தொடர் வரிசை மூலமே இன்று அவரை பெரும்பாலும் கணிதத்தில் நினைவு கொள்கிறோம். இப்படைப்பே நுண்கணிதத்தின் முன்னோடியாக கருதப்படுகிறது. ஐரோப்பாவில் நியூட்டன் மற்றும் லீப்நிட்ஸ் போன்ற மேதைகள் மூன்று நூற்றாண்டுகளுக்கு பின்பே இந்த குறிப்புகளை வழங்கினர். எனவே மாதவா நுண்கணிதத்தின் துவக்கத்திற்கு மிக முக்கிய பங்களிப்பை ஏற்படுத்தினார்.

மாதவா π என்ற எண்ணிற்கு அற்புதமான கூட்டு தொடர் வரிசையில் அமைந்த சூத்திரத்தை வழங்கினார். இச்சூத்திரத்தையே கிரேகோரி (1671) மற்றும் லீப்நிட்ஸ் (1676) ஆகியோர் பிற்காலத்தில் கண்டறிந்தனர். இதனாலேயே இன்று இத்தொடரை மாதவா – கிரேகோரி – லீப்நிட்ஸ் கூட்டுத் தொடர் என அழைக்கிறோம். மாதவா வழங்கிய π சூத்திரத்தை கீழ் கொடுத்த படம் மூலம் காணலாம்.

நுண்கணிதமே இன்றைய அறிவியல் வளர்ச்சிக்கு ஆதாரமாக விளங்குகிறது என்பதை காணும்பொழுது மாதவா ஏற்படுத்திய கருத்துக்களின் மகிமை நமக்கு நன்றாக புலப்படும். ஜோசப் என்ற எழுத்தாளர் மாதவா அமைத்த நுண்கணித கருத்துக்களே ஐரோப்பாவிற்கு சென்று அங்குள்ள அறிஞர்கள் மேலும் மெருகேற்ற வழிவகுத்தது என மாதவாவின் சிறப்பை “The crest of the peacock” என்ற புத்தகத்தில் குறிப்பிடுகிறார். மாதவாவின் அற்புத படைப்புகளினால் அவரை கணித பகுப்பாய்வின் முன்னோடியாக இன்று பல அறிஞர்கள் கருதுகின்றனர்.

மேற்கூறிய செய்திகளை போல மற்ற அறிவியல் செய்திகளை அநேக இந்திய மேதைகள் வெவ்வேறு முறைகளில் ரகசியமாக செய்யுள்களின் வடிவில் வழங்கியுள்ளனர். ஆனால் ஏன் ரகசியமாக இக்குறிப்புகளை வழங்கவேண்டும்? இதுவே அன்றைய இந்தியர்களின் அறிவியல் சிந்தனை வெளிப்பாட்டின் தன்மையாக விளங்கியது.